数学四色問題を楽しむ1

　DNAの塩基配列はATGCの4種類の並びで遺伝情報を伝えてゆきます。数学では4次方程式までが四則演算と冪根で解の公式で表せます。またデタラメに分割した区画の色分けは四色あれば塗り分けることができます。「４」に何かとてつもない秘密がかくされているのでしょうか？

　4色問題を以下のように考えてみました。

円柱でも角柱でもどちらでもよいのですが、これらは底面が上下のふたつありますが下の底はありません。側面はあります。この側面を縦方向に分割線をいれたとき、分割数は偶数か奇数しかありません。

　さらに簡単にするために例として底のない4角柱（側面が偶数分割）と5角柱（側面が奇数分割）を考えます。

　4角柱の側面の色分けには2色あれば塗り分けられます。つまり上面をいれれば3色で塗り分けられることになります。

　5角柱の側面は3色で塗り分けられます。上面をたして4色あれば塗り分けられることになります。

これらふたつの場合から4色あれば塗り分けられることがわかりました。

　実はこれで4色問題は解決できているのではないかとおもって、現在検証中のところです。

これではちっとも楽しんでいないので、もう少し続けましょう。

　つぎにこれら角柱をつぶして展開図にするのですが、側面の分割線は分割面にくっついていないといけないので、ビニールやゴムのように伸びているような変則的な伸びた展開図となります。

　この角柱や変形展開図を「cell」(セル（細胞）)と名付けます。これがでたらめに分割されたひとつひとつとなります。ただし次のようにこれらセルをあてはめてゆくものとします。

　具体的に日本地図を使います。

いま栃木県を柱体aの上面とすると、側面は福島・栃木・埼玉・茨城の4面になります。これらの側面のどれかを含むように次の柱体bの上面を長野県にとります。いまは栃木埼玉が共通の側面となるようにとりました。柱体bは埼玉・栃木・新潟・富山・岐阜・愛知・静岡・山梨の8面に囲まれることになり、側面が8の偶数分割で側面が2色でOKかとおもいきや、柱体aの側面と接しているためにもう1色必要になってしまいます。しかし柱体bの側面は3色となりますがやはり全体では4色でたりています。

　このように、様々な分割の枝分かれを追う必要はなくセルを基本にして考えればよく、セル自体は4色で塗り分けられることが保証されていますので、あとはそれら側面を共有したセルの分析だけを考えればよいことになります。

　数学的帰納法のｎまでを認めて、ｎ＋１の場合はセルをひとつたしただけのことになりますので、日本地図にあてはめるのならば、全国のどこにセルひとつをあてはめても4色でよいことはすぐにわかります。

　ちょっとはなしを急ぎすぎて、楽しめませんでしたのでもう少し検証をかねてはなしをつづけます。

つづく